微积分学示例

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = e^{x^{4}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{x^{4}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $e^{x^{4}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

解题步骤 3.2

将 ${(e^{x^{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

组合 $e^{x^{4}}$ 和 $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 。

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

解题步骤 3.4.3

合并分数。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 。

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

解题步骤 3.4.3.2

组合 $\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $4 e^{x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

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