微积分学示例

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{7}}$ 。

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t^{7}}$ 重写成 $t^{\frac{7}{2}}$ 。

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

解题步骤 3

$u$ 对 $t$ 的导数为 $u'$ 。

$u'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{7}$ 。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.5.2

从 $1$ 中减去 $7$ 。

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{\frac{7}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

解题步骤 4.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.3.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

解题步骤 4.3.6.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 4.3.7

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $t^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.8

组合 $6$ 和 $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 4.3.9

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 4.3.10

从 $42 t^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 4.3.11

约去公因数。

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解题步骤 4.3.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.11.2

约去公因数。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.11.3

重写表达式。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

解题步骤 4.3.11.4

用 $21 t^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ 。

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 4.4.3

重新排序项。

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d u}{d t}$ 替换 $u'$ 。

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

微积分学 示例

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