微积分学示例

$x \sin (y) + y \sin (x) = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x \sin (y) + y \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.2.5

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ 中的因式重新排序。

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y \cos (x)$ 。

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $\sin (y)$ 。

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

解题步骤 5.3

从 $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x y' \cos (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

解题步骤 5.3.2

从 $y' \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

解题步骤 5.3.3

从 $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

解题步骤 5.4

将 $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ 中的每一项除以 $x \cos (y) + \sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ 中的每一项都除以 $x \cos (y) + \sin (x)$ 。

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x \cos (y) + \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2

化简项。

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解题步骤 5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $- y \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2.3

从 $- \sin (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2.4

从 $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.2.5.1

将 $- (y \cos (x) + \sin (y))$ 重写为 $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ 。

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 5.4.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

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