微积分学示例

$\ln (x y) = e^{x + y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 2.6.2

合并项。

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解题步骤 2.6.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 2.6.2.2

组合 $\frac{x}{x y}$ 和 $y'$ 。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 2.6.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 2.6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 2.6.2.4

组合 $\frac{1}{x y}$ 和 $y$ 。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

解题步骤 2.6.2.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.5.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

解题步骤 2.6.2.5.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $e^{x + y} (1 + y')$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

解题步骤 5.1.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

解题步骤 5.1.4.2

将 $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ 中的因式重新排序。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y' e^{x + y}$ 。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.2

要将 $- y' e^{x + y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.3

组合 $- y' e^{x + y}$ 和 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.5

从 $y' - y' e^{x + y} y$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.5.2

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.5.3

从 $- y' e^{x + y} y$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.5.4

从 $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.6

要将 $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.7

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y x$ 的形式。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.8.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.8.3

重新排序 $y x$ 的因式。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.10

化简分子。

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解题步骤 5.2.10.1

运用分配律。

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.10.2

将 $y'$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.10.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.10.4

运用分配律。

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.2.11

将 $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ 中的因式重新排序。

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

解题步骤 5.3

两边同时乘以 $x y$ 。

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.1.1

化简 $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

约去 $x y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

解题步骤 5.4.1.1.1.2

重写表达式。

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

解题步骤 5.4.1.1.2

重新排序。

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解题步骤 5.4.1.1.2.1

移动 $y$ 。

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

解题步骤 5.4.1.1.2.2

移动 $- y' x y e^{x + y}$ 。

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $e^{x + y} (x y)$ 中的因式重新排序。

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

解题步骤 5.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

解题步骤 5.5.2

从 $y' x - y' x y e^{x + y}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $y' x$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

解题步骤 5.5.2.2

从 $- y' x y e^{x + y}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

解题步骤 5.5.2.3

从 $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

解题步骤 5.5.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

解题步骤 5.5.4

将 $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ 中的每一项除以 $x (1 - y e^{x + y})$ 并化简。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ 中的每一项都除以 $x (1 - y e^{x + y})$ 。

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.2.2

约去 $1 - y e^{x + y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.3.2

从 $x y e^{x + y} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.5.4.3.2.1

从 $x y e^{x + y}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.3.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 5.5.4.3.2.3

从 $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

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