微积分学示例

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (y) - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ 。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3.5

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $\cos (x) + \sin (y) y'$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) + \sin (y) y'$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$\sin (y) y' + \cos (x)$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $\sin (y) y' + \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\cos (x)$ 。

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

解题步骤 5.3

将 $y' \sin (y) = - \cos (x)$ 中的每一项除以 $\sin (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' \sin (y) = - \cos (x)$ 中的每一项都除以 $\sin (y)$ 。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

分离分数。

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ 重写为乘积形式。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.3.3.3

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.3.3.4

化简。

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解题步骤 5.3.3.4.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.3.3.4.2

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

解题步骤 5.3.3.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$

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