微积分学示例

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - y$ 且 $g (x) = x^{2} + y$ 。

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

解题步骤 3.8.2

运用分配律。

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

解题步骤 3.8.3

运用分配律。

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

解题步骤 3.8.4

运用分配律。

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

解题步骤 3.8.5

运用分配律。

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

解题步骤 3.8.6

运用分配律。

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7

合并项。

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解题步骤 3.8.7.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.7

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.8

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

解题步骤 3.8.7.9

将 $- y y'$ 和 $y (- y')$ 相加。

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解题步骤 3.8.7.9.1

将 $y$ 和 $- 1$ 重新排序。

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

解题步骤 3.8.7.9.2

从 $- y y'$ 中减去 $y y'$ 。

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

解题步骤 3.8.8

重新排序项。

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $2 y y'$ 。

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 y y'$ 中减去 $2 y y'$ 。

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $2 x y$ 。

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.4

从 $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.4.2

从 $- 4 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.4.3

从 $- x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.4.4

从 $y' (x) + y' (- 4 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.4.5

从 $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

解题步骤 5.5

将 $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ 中的每一项除以 $x - 4 y - x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ 中的每一项都除以 $x - 4 y - x^{2}$ 。

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $x - 4 y - x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2

化简项。

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解题步骤 5.5.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.3

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.4

从 $2 x y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.5

从 $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.6

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.7

从 $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.2.8.1

将 $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.8.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

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