微积分学示例

$x^{2} y = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x)$

解题步骤 2.4

重新排序。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$x^{2} y' + 2 x y$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{2} y' + 2 x y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$x^{2} y' = - 2 x y$

解题步骤 5.2

将 $x^{2} y' = - 2 x y$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $x^{2} y' = - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

解题步骤 5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例