微积分学示例

${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3} = 79$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (79)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， ${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 4 x - y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x - y$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $4 x - y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $4 x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.2.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} y')$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 6 y^{2} y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$4 {(4 x - y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 {(4 x - y)}^{3} + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$

解题步骤 3

因为 $79$ 对于 $x$ 是常数，所以 $79$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$ 中的因式重新排序。

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $16 {(4 x - y)}^{3}$ 。

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.3

从 $- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 4 y' {(4 x - y)}^{3}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.3.2

从 $6 y^{2} y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2})$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.4

使用二项式定理。

$2 y' (- 2 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$2 y' (- 2 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(4 x)}^{2} y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.5

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.7

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.9

对 $- y$ 运用乘积法则。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.10

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.11

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.12

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.13

对 $- y$ 运用乘积法则。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.5.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$2 y' (- 2 (64 x^{3}) - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $64$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y' (- 128 x^{3} - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.7.2

将 $- 48$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.7.3

将 $12$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.8

化简每一项。

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解题步骤 5.8.1

去掉圆括号。

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.8.2

去掉圆括号。

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

解题步骤 5.9

将 $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ 中的每一项除以 $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.9.1

将 $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ 中的每一项都除以 $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ 。

$\frac{2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.2

化简左边。

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解题步骤 5.9.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.9.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.2.2

约去 $- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.9.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3

化简右边。

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解题步骤 5.9.3.1

约去 $- 16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.3.1.1

从 $- 16 {(4 x - y)}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.9.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.3

从 $- 128 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.4

从 $96 x^{2} y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.5

从 $- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.6

从 $- 24 x y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.7

从 $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.8

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.9

从 $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.10

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3.11

从 $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3.12

化简表达式。

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解题步骤 5.9.3.12.1

将 $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ 重写为 $- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ 。

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.9.3.12.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.12.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = 1 \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.9.3.12.4

将 $\frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

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