微积分学示例

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

解题步骤 2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = y$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.7

从 $0$ 中减去 $y'$ 。

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.8

将负号移到分数的前面。

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{y'}{y^{2}}$ 。

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

运用分配律。

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

组合 $\frac{3}{x^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.3.1.2

合并。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

解题步骤 5.4.3.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

微积分学 示例

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