微积分学示例

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.2.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

解题步骤 2.3.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ 和 $y'$ 。

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

解题步骤 5

求解 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

解题步骤 5.2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

解题步骤 5.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 5.3.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4

将 $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

解题步骤 5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

解题步骤 5.3.4.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

解题步骤 5.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.4.3.1

从 $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

解题步骤 5.3.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

解题步骤 5.3.4.3.2.2

约去公因数。

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.4.3.2.3

重写表达式。

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

解题步骤 5.3.4.3.2.4

用 $- y' y^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.4

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$

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