微积分学示例

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

解题步骤 1

因式分解出 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

解题步骤 4

展开 $(1 - u^{2}) u^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

解题步骤 4.2

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

解题步骤 4.3

提取负因数。

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

解题步骤 4.5

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\int u^{3} - u^{5} d u$

解题步骤 4.6

将 $u^{3}$ 和 $- u^{5}$ 重新排序。

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $u^{6}$ 。

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 9.2

化简。

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$

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