微积分学示例

\sec^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$

解题步骤 1

从

\sec^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$ 中分解出因数

\sec (x)

$\sec (x)$ 。

\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = \sec (x)

$u = \sec (x)$ ，

d v = \sec^{2} (x)

$d v = \sec^{2} (x)$ 。

\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

解题步骤 3

对

\tan (x)

$\tan (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 4

对

\tan (x)

$\tan (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 5

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 6.2

将

\tan^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ 和

\sec (x)

$\sec (x)$ 重新排序。

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 7

使用勾股定理，将

\tan^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ 重写成

- 1 + \sec^{2} (x)

$- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 8

通过相乘进行化简。

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解题步骤 8.1

将幂重写为乘积形式。

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 8.2

运用分配律。

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 8.3

将

\sec (x)

$\sec (x)$ 和

- 1

$- 1$ 重新排序。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 9

对

\sec (x)

$\sec (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 10

对

\sec (x)

$\sec (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 11

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

解题步骤 12

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 13

对

\sec (x)

$\sec (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 14

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

解题步骤 15

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 16

将单个积分拆分为多个积分。

\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 17

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 18

\sec (x)

$\sec (x)$ 对

x

$x$ 的积分为

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 19

通过相乘进行化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 19.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 20

求解

\int \sec^{3} (x) d x

$\int \sec^{3} (x) d x$ ，我们发现

\int \sec^{3} (x) d x

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ 。

\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

解题步骤 21

将

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

解题步骤 22

化简。

\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

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