微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ 无定义。

$x = 0, x = 5, x = 9$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $5$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 5$ 是一条垂直渐近线。

$x = 5$

解题步骤 4

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $9$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $9$ 时， $\frac{x + 5}{x^{3} - 14 x^{2} + 45 x}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 9$ 是一条垂直渐近线。

$x = 9$

解题步骤 5

列出所有垂直渐近线：

$x = 0, 5, 9$

解题步骤 6

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 7

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 1$

$m = 3$

解题步骤 8

因为 $n < m$ ，所以 x 轴、 $y = 0$ 是水平渐近线。

$y = 0$

解题步骤 9

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 10

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0, 5, 9$

水平渐近线： $y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 11

微积分学 示例

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