微积分学示例

$x^{5} - 32$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

解题步骤 3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{5} - 32$

解题步骤 3.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 - 32$

解题步骤 3.3

从 $32$ 中减去 $32$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{5} - 32}{x - 2}$

解题步骤 5

用 $x^{5} - 32$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} - 2 x^{4}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} - 4 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 8 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

解题步骤 5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 5.17

将被除数中的最高阶项 $8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x^{2} - 16 x$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

解题步骤 5.22

将被除数中的最高阶项 $16 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

解题步骤 5.23

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

解题步骤 5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x - 32$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

解题步骤 5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$x$

$2$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$8 x^{2}$

$16 x$

$32$

$16 x$

$32$

$0$

解题步骤 5.26

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16$

解题步骤 6

将 $x^{5} - 32$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16)$

微积分学 示例

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