微积分学示例

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x^{2}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 移到 $1 - x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

乘。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $1 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.12

将 $2$ 移到 $1 + x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并 $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2 x + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微积分学 示例

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