微积分学示例

$\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{3 - x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$3 - x \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$- x \geq - 3$

解题步骤 2.2

将 $- x \geq - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x \geq - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 3$

解题步骤 3

将 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 1 \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x^{2} \geq 1$

解题步骤 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

解题步骤 4.3

化简方程。

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解题步骤 4.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \geq \sqrt{1}$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \geq 1$

解题步骤 4.4

将 $| x | \geq 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 4.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \geq 1$

解题步骤 4.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 4.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \geq 1$

解题步骤 4.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 4.5

求 $x \geq 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x \geq 1$

解题步骤 4.6

将 $- x \geq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.6.1

将 $- x \geq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.2

化简左边。

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解题步骤 4.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 4.6.3

化简右边。

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解题步骤 4.6.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq - 1$

解题步骤 4.7

求解的并集。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$

解题步骤 5

将 $\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 重写成 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简。

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 6.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 6.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 6.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 6.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 6.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3]$

集合符号：

${x | x < - 1, 1 < x \leq 3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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