微积分学示例

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ 写为等式。

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{1 - 9 y} = x$ 。

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 9 y}$ 重写成 ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$1 - 9 y = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 9 y = x^{2} - 1$

解题步骤 3.4.2

将 $- 9 y = x^{2} - 1$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 9 y = x^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 ${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ 重写为 $1 - 9 x$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 9 x}$ 重写成 ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.1.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

解题步骤 5.2.4.4

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $- 1 + 9 x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $9 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- \frac{x^{2}}{9}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.4.3

约去公因数。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.4.4

重写表达式。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.5

乘。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.6

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

解题步骤 5.3.7

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

解题步骤 5.3.7.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ 为 $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

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