微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 写为等式。

$y = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y}{y - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 1$ 。

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(y - 1) (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y x - x = y$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y x - x - y = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y x - y = x$

解题步骤 3.4.3

从 $y x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) - y = x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $y (x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x - 1) = x$

解题步骤 3.4.4

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项除以 $x - 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $y (x - 1) = x$ 中的每一项都除以 $x - 1$ 。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 是否为 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

解题步骤 5.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

解题步骤 5.2.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $1 (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.2.6.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.2.6.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{x - 1})$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

解题步骤 5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

解题步骤 5.3.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $1 (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 为 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

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