微积分学示例

$y = 3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$3 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$3 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 3.6

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 3.6.3

将负号移到分数的前面。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 3.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 3.14.2

在公分母上合并分子。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

解题步骤 3.14.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

解题步骤 3.14.4

将负号移到分数的前面。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$3 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 3.16

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$3 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.17

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$3 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3.18

将负号移到分数的前面。

$3 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

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