微积分学示例

$f (x) = \sqrt{12 x}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 x}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3 x}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $12 x$ 重写为 $2^{2} \cdot (3 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (3) x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 3 x}]$

解题步骤 1.1.3

添加圆括号。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (3 x)}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3 x}]$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [2 {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2 (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

因为 $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 移到 $3^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

重写表达式。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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