微积分学示例

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x}{2^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 2^{x}$ 。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(2^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

解题步骤 3.3

将 $2^{x}$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

解题步骤 5

组合 $7$ 和 $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ 。

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

乘以 $7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 7 \ln (2)$ 。

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.2.2

将 $7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.4

从 $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 2^{x} x \ln (128)$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.4.2

从 $7 \cdot 2^{x}$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.4.3

从 $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ 中分解出因数 $2^{x}$ 。

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.5

约去 $2^{x}$ 和 $2^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ 中分解出因数 $2^{2 x}$ 。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

解题步骤 6.5.2.4

用 $2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ 除以 $1$ 。

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

解题步骤 6.7

使用乘法的交换性质重写。

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

解题步骤 6.8

将 $7$ 移到 $2^{- x}$ 的左侧。

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

解题步骤 6.9

将 $- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$

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