微积分学示例

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 5 x + 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 3$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $5 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

解题步骤 4.8

将 ${(5 x + 3)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

解题步骤 5.2

将 $20$ 乘以 $4$ 。

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

解题步骤 5.3

从 $80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $80 x {(5 x + 3)}^{3}$ 中分解出因数 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 。

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

解题步骤 5.3.2

从 $4 {(5 x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 。

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

解题步骤 5.3.3

从 $4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ 中分解出因数 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 。

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

解题步骤 5.4

将 $20 x$ 和 $5 x$ 相加。

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$

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