微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{7}$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{7}] + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 1$ 。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$3 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{3} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$3 (x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6} x^{2}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{2}$ 。

$3 (x^{2} x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{2 + 2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} (2 x))$

解题步骤 7

将 $2$ 移到 ${(x^{3} + 1)}^{7}$ 的左侧。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + 2 \cdot {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

解题步骤 8.2

将 $21$ 乘以 $3$ 。

$63 (x^{4} ({(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 ({(x^{3} + 1)}^{7} x)$

解题步骤 8.4

从 $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ 中分解出因数 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 8.4.1

从 $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6}$ 中分解出因数 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$

解题步骤 8.4.2

从 $6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ 中分解出因数 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$

解题步骤 8.4.3

从 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$ 中分解出因数 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 。

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3} + 2 (x^{3} + 1))$

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