微积分学示例

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 20$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.5

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.6

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4

将 $6$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

解题步骤 6

将 $3$ 移到 $3 x^{2} - 20$ 的左侧。

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

解题步骤 7.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

解题步骤 7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

解题步骤 7.3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

解题步骤 7.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

解题步骤 7.3.4

将 $6 x^{4}$ 和 $9 x^{4}$ 相加。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

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