微积分学示例

$x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

将 $x + \frac{1}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - x^{- 2}$

解题步骤 2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $\frac{2}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - x^{- 2}$

解题步骤 5.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

解题步骤 6.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 6.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 6.4

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - x^{2}$

解题步骤 6.5

求解方程。

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解题步骤 6.5.1

将方程重写为 $- x^{2} = - 1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 6.5.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 6.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 6.5.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 6.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 6.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 6.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 1, - 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 10.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 1$

解题步骤 12.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 2$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 13

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{- 1}$

解题步骤 14.2

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$- 2$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 1 - 1$

解题步骤 16.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f (- 1) = - 2$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的局部极值。

$(1, 2)$ 是一个局部最小值

$(- 1, - 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

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