微积分学示例

$\arctan (x^{2} y)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} y$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

组合 $y$ 和 $\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ 。

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x)$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ 。

$\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} x$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $x^{2} y$ 运用乘积法则。

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 y x}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$

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