微积分学示例

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

解题步骤 10

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4

合并项。

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解题步骤 11.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.4.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.2

将 $4$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.5

将 $- 4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.4.6

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 11.5

化简每一项。

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解题步骤 11.5.1

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

解题步骤 11.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 11.5.2.1

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

解题步骤 11.5.2.2

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

解题步骤 11.5.2.3

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.5.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3.1.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 11.5.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

解题步骤 11.5.3.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

解题步骤 11.5.4

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

解题步骤 11.5.5

化简。

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解题步骤 11.5.5.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 11.5.5.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 11.6

将 $24 x^{4}$ 和 $6 x^{4}$ 相加。

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 11.7

从 $- 24 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

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