微积分学示例

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \log_{9} (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

$\log_{9} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (9)}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x \ln (9)}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x \ln (9)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ 。

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{\ln (9) (\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 6.3

约去 $\ln (9)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) (2 x))}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + \ln (9) (- 2 \log_{9} (x) x)}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log_{9} (x)$ 。

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 9.1.2

将 $x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{x - x \ln (9) \log_{9} (x^{2})}{\ln (9) x^{4}}$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.3

从 $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 9.3.1

从 $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.3.4

从 $x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\log_{9} (x^{2})$ 。

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

解题步骤 9.5

约去公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $x^{4} \ln (9)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

解题步骤 9.5.3

重写表达式。

$\frac{- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \ln (9) \log_{9} (x) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.7

从 $- 2 \ln (9) \log_{9} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.9

从 $- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.10

将 $- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ 重写为 $- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ 。

$\frac{- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

解题步骤 9.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1}{x^{3} \ln (9)}$

微积分学 示例

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