微积分学示例

$\ln (\csc (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ 的因式。

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

解题步骤 6.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

解题步骤 6.3

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.5.2

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.5.3

约去公因数。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 6.5.4

重写表达式。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6.7

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- \cot (x)$

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