微积分学示例

$\tan (\sin (x^{2}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$ 的因式。

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$

解题步骤 4.2

将 $\sec (\sin (x^{2}))$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 x {(\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})}^{2} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.3

对 $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 运用乘积法则。

$2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.5

乘以 $2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ 。

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解题步骤 4.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ 。

$x \frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.5.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ 。

$\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.7

组合 $\frac{2 x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ 和 $\cos (x^{2})$ 。

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$

解题步骤 4.8

从 $\cos^{2} (\sin (x^{2}))$ 中分解出因数 $\cos (\sin (x^{2}))$ 。

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2})) \cos (\sin (x^{2}))}$

解题步骤 4.9

分离分数。

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

解题步骤 4.10

将 $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.11

将 $\cos (x^{2})$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.12

化简。

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解题步骤 4.12.1

用 $\cos (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.12.2

将 $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 转换成 $\sec (\sin (x^{2}))$ 。

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

解题步骤 4.13

乘以 $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ 。

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解题步骤 4.13.1

组合 $\cos (x^{2})$ 和 $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 。

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))} \sec (\sin (x^{2}))$

解题步骤 4.13.2

组合 $\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 和 $\sec (\sin (x^{2}))$ 。

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{\cos (\sin (x^{2}))}$

解题步骤 4.14

分离分数。

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.16

将 $\cos (x^{2})$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.17

化简。

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解题步骤 4.17.1

用 $\cos (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

解题步骤 4.17.2

将 $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ 转换成 $\sec (\sin (x^{2}))$ 。

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

解题步骤 4.18

用 $(2 x) \sec (\sin (x^{2}))$ 除以 $1$ 。

$(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

解题步骤 4.19

乘以 $(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ 。

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解题步骤 4.19.1

对 $\sec (\sin (x^{2}))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

解题步骤 4.19.2

对 $\sec (\sin (x^{2}))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec^{1} (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

解题步骤 4.19.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x {\sec (\sin (x^{2}))}^{1 + 1} \cos (x^{2})$

解题步骤 4.19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$

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