微积分学示例

$y = (8 x + 5) (x^{2} - 3 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 8 x + 5$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 x$ 。

$(8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$(8 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(8 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3 \cdot 1) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $8 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.7

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.9

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \cdot 8$

解题步骤 2.11.2

将 $8$ 移到 $x^{2} - 3 x$ 的左侧。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 \cdot (x^{2} - 3 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(8 x + 5) (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x \cdot x + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 (x^{1} x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 (x^{1} x^{1}) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 x^{1 + 1} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$16 x^{2} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.6

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$16 x^{2} + 10 x + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.7

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$16 x^{2} + 10 x - 24 x + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.8

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$16 x^{2} + 10 x - 24 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.9

从 $10 x$ 中减去 $24 x$ 。

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

解题步骤 3.5.10

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} - 24 x$

解题步骤 3.5.11

将 $16 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$24 x^{2} - 14 x - 15 - 24 x$

解题步骤 3.5.12

从 $- 14 x$ 中减去 $24 x$ 。

$24 x^{2} - 38 x - 15$

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