微积分学示例

$y = (4 x^{2} - 1) (7 x^{3} + x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 7 x^{3} + x$ 。

$(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 x^{3} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(4 x^{2} - 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(4 x^{2} - 1) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $4 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (8 x)$

解题步骤 2.11.2

将 $8$ 移到 $7 x^{3} + x$ 的左侧。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + 8 \cdot (7 x^{3} + x) x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + (8 (7 x^{3}) + 8 x) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2} + 1) + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(4 x^{2} - 1) (21 x^{2}) + (4 x^{2} - 1) \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$4 x^{2} (21 x^{2}) - 1 (21 x^{2}) + (4 x^{2} - 1) \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$4 x^{2} (21 x^{2}) - 1 (21 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $21$ 乘以 $4$ 。

$84 x^{2} x^{2} - 1 (21 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$84 (x^{2} x^{2}) - 1 (21 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$84 x^{2 + 2} - 1 (21 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$84 x^{4} - 1 (21 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.3

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$84 x^{4} - 21 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$84 x^{4} - 21 x^{2} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$84 x^{4} - 21 x^{2} + 4 x^{2} - 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.6

将 $- 21 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 8 (7 x^{3}) x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.7

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{3} x + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 (x^{1} x^{3}) + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{1 + 3} + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.10

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{4} + 8 x \cdot x$

解题步骤 3.6.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{4} + 8 (x^{1} x)$

解题步骤 3.6.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{4} + 8 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 3.6.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{4} + 8 x^{1 + 1}$

解题步骤 3.6.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$84 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 56 x^{4} + 8 x^{2}$

解题步骤 3.6.15

将 $84 x^{4}$ 和 $56 x^{4}$ 相加。

$140 x^{4} - 17 x^{2} - 1 + 8 x^{2}$

解题步骤 3.6.16

将 $- 17 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$140 x^{4} - 9 x^{2} - 1$

微积分学 示例

微积分学示例