微积分学示例

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ 且 $g (x) = e^{- 7 x}$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 7 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 7 x$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 2.3

使用 $- 7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 3.3.2

将 $- 7$ 移到 $(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$ 的左侧。

$- 7 \cdot ((5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $5 x^{2} - 10 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.8

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.10

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 3.11

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + 0)$

解题步骤 3.12

将 $10 x - 10$ 和 $0$ 相加。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$(- 7 (5 x^{2}) - 7 (- 10 x) - 7 \cdot 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

解题步骤 4.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

解题步骤 4.4.2

将 $- 10$ 乘以 $- 7$ 。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

解题步骤 4.4.3

将 $- 7$ 乘以 $10$ 。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

解题步骤 4.4.4

将 $- 10$ 移到 $e^{- 7 x}$ 的左侧。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) - 10 \cdot e^{- 7 x}$

解题步骤 4.4.5

将 $70 x e^{- 7 x}$ 和 $e^{- 7 x} (10 x)$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.5.1

移动 $e^{- 7 x}$ 。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} + 10 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

解题步骤 4.4.5.2

将 $70 x e^{- 7 x}$ 和 $10 x e^{- 7 x}$ 相加。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

解题步骤 4.4.6

从 $- 70 e^{- 7 x}$ 中减去 $10 e^{- 7 x}$ 。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$

解题步骤 4.6

将 $- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$ 中的因式重新排序。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

微积分学 示例

微积分学示例