微积分学示例

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 5 + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

解题步骤 2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.9.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

解题步骤 2.9.2

将 $2$ 移到 $x + 5 + \frac{1}{x}$ 的左侧。

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 3.4.6

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

解题步骤 3.4.7

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $x$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

解题步骤 3.4.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.1

约去公因数。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

解题步骤 3.4.8.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

解题步骤 3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.1.2

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.1.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.1.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.3.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.1.3.2

约去公因数。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.1.3.3

重写表达式。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

解题步骤 3.6.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

解题步骤 3.7

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

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