微积分学示例

$x - \ln (2 x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x - \ln (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 2.6

组合 $\frac{1}{2 x}$ 和 $2$ 。

$1 - \frac{2}{2 x}$

解题步骤 2.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

约去公因数。

$1 - \frac{2}{2 x}$

解题步骤 2.7.2

重写表达式。

$1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 3

重新排序项。

$- \frac{1}{x} + 1$

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