微积分学示例

$x \arctan (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

解题步骤 4

要将 $\arctan (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

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