微积分学示例

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{6 - x}{6 + x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{6 - x}{6 + x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{6 - x}{6 + x}$ 。

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

解题步骤 3

将 $\frac{6 + x}{6 - x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 6 - x$ 且 $g (x) = 6 + x$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $6 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

将 $- 1$ 移到 $6 + x$ 的左侧。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

将 $- 1 (6 + x)$ 重写为 $- (6 + x)$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.7

根据加法法则， $6 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.8

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.11

合并分数。

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解题步骤 5.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 5.11.2

将 $\frac{6 + x}{6 - x}$ 乘以 $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ 。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ 中分解出因数 $6 + x$ 。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.1.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 7.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.2

合并 $- 6 - x - 6 + x$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.3.3

从 $- 6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$

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