微积分学示例

$g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{6}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{6}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{6}] + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

${(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

${(x^{2} + 1)}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{3} (6 {(x^{2} + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $6$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 的左侧。

$6 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + {(x^{2} + 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + {(x^{2} + 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + {(x^{2} + 2)}^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + {(x^{2} + 2)}^{6} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $3$ 移到 ${(x^{2} + 2)}^{6}$ 的左侧。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 3 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 3 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 3 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0)$

解题步骤 5.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 3 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 6 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} x$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

从 $12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x + 6 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ 中分解出因数 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

从 $12 {(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{5} x$ 中分解出因数 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (2 (x^{2} + 1)) + 6 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} x$

解题步骤 6.1.2

从 $6 {(x^{2} + 2)}^{6} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ 中分解出因数 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (2 (x^{2} + 1)) + 6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (x^{2} + 2)$

解题步骤 6.1.3

从 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (2 (x^{2} + 1)) + 6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x$ 。

$6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (2 (x^{2} + 1) + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.2

重新排序 $6 {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{5} x (2 (x^{2} + 1) + x^{2} + 2)$ 的因式。

$6 x {(x^{2} + 2)}^{5} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 (x^{2} + 1) + x^{2} + 2)$

微积分学 示例

微积分学示例