微积分学示例

$y = {(2 x - 5)}^{4} {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ 且 $g (x) = {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ 。

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 5)}^{- 3}] + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 8 x^{2} - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $8 x^{2} - 5$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 2.3

使用 $8 x^{2} - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $8 x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $8$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + 0)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $16 x$ 和 $0$ 相加。

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 3.6.2

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x - 5$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $4$ 移到 ${(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ 的左侧。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 \cdot {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 5.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 5.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

解题步骤 5.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

解题步骤 5.7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

组合 $- 48$ 和 $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{- 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 。

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{x \cdot 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.4

将 $48$ 移到 $x$ 的左侧。

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48 \cdot x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.5

组合 ${(2 x - 5)}^{4}$ 和 $\frac{48 x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 。

$- \frac{{(2 x - 5)}^{4} (48 x)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.6

将 $48$ 移到 ${(2 x - 5)}^{4}$ 的左侧。

$- \frac{48 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.7

组合 $8$ 和 $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

解题步骤 6.3.8

组合 $\frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 和 ${(2 x - 5)}^{3}$ 。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$

解题步骤 6.3.9

要将 $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ 。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} \cdot \frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$

解题步骤 6.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(8 x^{2} - 5)}^{4}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.10.1

将 $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 乘以 $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ 。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}$

解题步骤 6.3.10.2

通过指数相加将 ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ 乘以 $8 x^{2} - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.10.2.1

将 ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ 乘以 $8 x^{2} - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.10.2.1.1

对 $8 x^{2} - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} {(8 x^{2} - 5)}^{1}}$

解题步骤 6.3.10.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3 + 1}}$

解题步骤 6.3.10.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{- 48 {(2 x - 5)}^{4} x + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

从 $- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ 中分解出因数 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1.1

从 $- 48 x {(2 x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.1.2

从 $8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ 中分解出因数 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5) + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.4

将 $- 5$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.5.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 (x \cdot x) + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.5.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 12 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.5.6

将 $- 12 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 4 x^{2} + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.6

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.7

从 $30 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) - (- 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.8

从 $- (4 x^{2}) - (- 30 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.9

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.10

从 $- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.11

将 $- (4 x^{2} - 30 x + 5)$ 重写为 $- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5)$ 。

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

解题步骤 6.13

将 $- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

微积分学 示例

微积分学示例