微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 3 e^{x}}{2 e^{x} - x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 3 e^{x}$ 且 $g (x) = 2 e^{x} - x$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 e^{x}] - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 e^{x} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x})$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{2 e^{x} (2 x + 3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot 2 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x} e^{x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1.4.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 (e^{x} e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x + x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.4.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x \cdot x - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.1.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.2

从 $4 e^{x} x$ 中减去 $3 x e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{4 x e^{x} - 3 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.2.2

从 $4 x e^{x}$ 中减去 $3 x e^{x}$ 。

$\frac{1 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)$ 。

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解题步骤 7.2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x} - 1) - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.3

乘以 $- x^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.2.1.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 1 x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.6.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x + x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.6

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.7

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

合并 $x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $6 e^{2 x}$ 中减去 $6 e^{2 x}$ 。

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 0 + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{x e^{x} - x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (- e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.6

从 $- (x^{2}) - (- e^{x} x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.7

从 $- 2 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.8

从 $- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.9

从 $3 e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.10

从 $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.11

将 $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ 重写为 $- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.13

将 $- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x^{2} - x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

微积分学 示例

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