微积分学示例

$y = \frac{7^{x}}{\log_{7} (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 7^{x}$ 且 $g (x) = \log_{7} (x)$ 。

$\frac{\log_{7} (x) \frac{d}{d x} [7^{x}] - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $7$ 。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\log_{7} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{x \ln (7)}$ 和 $7^{x}$ 。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.1.2

将 $\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

从 $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ 中分解出因数 $7^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x)$ 中分解出因数 $7^{x}$ 。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ 中分解出因数 $7^{x}$ 。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})$ 中分解出因数 $7^{x}$ 。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.2

要将 $\ln (7) \log_{7} (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) \cdot \frac{x \ln (7)}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\ln (7) \log_{7} (x)$ 和 $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{7^{x} (\frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{7^{x} \frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

乘以 $\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.1

对 $\ln (7)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.5.1.2

对 $\ln (7)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x {\ln (7)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x \ln^{2} (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{7^{x} \frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $7^{x}$ 和 $\frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)} \cdot \frac{1}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.5

合并。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.6

将 $7^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.7

将 $\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{7^{x} (x \ln^{2} (7) \log_{7} (x) - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

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