微积分学示例

$y = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 3.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0)) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 10

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 11

要将 $x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 12

组合 $x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 14

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 15

将 $\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 16

将 $\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1

从 $x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 17.1.1.1

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $6$ 重新排序。

$\frac{6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.1.2

从 $6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.1.3

从 $- 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.1.4

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{1} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.3

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x - (x + 1))}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.4

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1 \cdot 1)}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1)}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.1.6

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.2

合并项。

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解题步骤 17.2.1

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

解题步骤 17.2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.2.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

解题步骤 17.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

解题步骤 17.2.3.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 17.2.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 17.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 17.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 17.2.3.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

解题步骤 17.2.3.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

微积分学 示例

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