微积分学示例

$y = \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

解题步骤 1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 9

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2

将 $1 - \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x)) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 11.3.1.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) - 3 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.2

移动 $- 3 \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.3

从 $- 3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.4

从 $- 3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.5

从 $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.6

重新整理项。

$\frac{- 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.7

使用勾股恒等式。

$\frac{- 3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.3.8

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.4

从 $- 3 + 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 11.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.4.2

从 $3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.6

从 $\sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.7

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

解题步骤 11.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

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