微积分学示例

$y = \frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x + 3)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$2 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{x + 3}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + 0) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \cdot 1 - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{x^{2}}{x + 3}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6

将 $\frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$2 (\frac{x + 3}{x + 3} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

合并。

$2 \frac{(x + 3) (\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 7.3

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 7.3.2

重写表达式。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) (2 x))}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 9.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$ 。

$\frac{2 (x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

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解题步骤 10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x + 3)$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 (x (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.4

乘以 $3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x)$ 。

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解题步骤 10.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 (\ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.4.2

将 $\ln ({(x + 3)}^{2})$ 和 $- 3$ 重新排序。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.4.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2})$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.3.1.5.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.5.2

将 ${({(x + 3)}^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.3.1.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.5.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.7

乘以 $2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}))$ 。

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解题步骤 10.3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 (x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.7.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln ({(x + 3)}^{2})$ 。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.8

乘以 $2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)$ 。

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解题步骤 10.3.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 (\ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.8.2

将 $\ln ({(x + 3)}^{6})$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.8.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6})$ 。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.9.2

将 ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.3.1.9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.9.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.9.3

将 ${({(x + 3)}^{6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.3.1.9.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{6 \cdot 2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.1.9.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.3.2

将 $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 10.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1} x^{4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1 + 4} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.5

从 $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 10.5.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x) - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.5.2

从 $- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.5.3

从 $- x \ln ({(x + 3)}^{12})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.5.4

从 $x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4}))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.5.5

从 $x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.6

从 $x^{5} + 3 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 10.6.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

解题步骤 10.6.2

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

解题步骤 10.6.3

从 $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

解题步骤 10.7

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 3)}^{4})$ 。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

解题步骤 10.8

通过将 $12$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 3)}^{12})$ 。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x^{4} (x + 3)}$

解题步骤 10.9

约去公因数。

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解题步骤 10.9.1

从 $x^{4} (x + 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

解题步骤 10.9.2

约去公因数。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

解题步骤 10.9.3

重写表达式。

$\frac{2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10

化简分子。

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解题步骤 10.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 1 \cdot 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.3

从 $2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 10.10.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.3.2

从 $- 4 x \ln (x + 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.3.3

从 $- 12 \ln (x + 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.3.4

从 $2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

解题步骤 10.10.3.5

从 $2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3) - 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

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