微积分学示例

$y = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ 重写为 ${(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{x} + e^{- x}$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

解题步骤 2.3

使用 $e^{x} + e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (- {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

解题步骤 3

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 ({(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 7.3

重新排序 $- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$ 的因式。

$- (e^{x} - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$(- e^{x} - - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

乘以 $- - e^{- x}$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(- e^{x} + 1 e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$(- e^{x} + e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.6

将 $- e^{x} + e^{- x}$ 乘以 $\frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ 。

$\frac{(- e^{x} + e^{- x}) \cdot 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.7

将 $2$ 移到 $- e^{x} + e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (- e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.8

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (e^{x}) + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.9

从 $e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (e^{x}) - 1 (- e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.10

从 $- (e^{x}) - 1 (- e^{- x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.11

将 $- (e^{x} - e^{- x})$ 重写为 $- 1 (e^{x} - e^{- x})$ 。

$\frac{2 (- 1 (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

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