微积分学示例

$y = \sqrt{\sec (2 x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sec (2 x)}$ 重写成 ${\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 8.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 8.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\sec (2 x)$ 和 $\frac{1}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sec (2 x)}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 9.2

组合 $\tan (2 x)$ 和 $\frac{\sec (2 x)}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{2 {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) {\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10

通过指数相加将 $\sec (2 x)$ 乘以 ${\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1

移动 ${\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\tan (2 x) ({\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.2

将 ${\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $\sec (2 x)$ 。

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解题步骤 10.2.1

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (2 x) ({\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

组合 $2$ 和 $\frac{\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 (\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{2 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12.3

用 $\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 14

化简表达式。

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解题步骤 14.1

将 $\tan (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 14.2

重新排序 $\tan (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

${\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (2 x)$

微积分学 示例

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