微积分学示例

$y = x^{\frac{4}{7}} (x + 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{4}{7}}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$x^{\frac{4}{7}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{4}{7}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{4}{7}} (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{4}{7}} \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{\frac{4}{7}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{7}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}})$

解题步骤 6.2

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}})$

解题步骤 8

组合 $\frac{4}{7}$ 和 $x^{- \frac{3}{7}}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{7}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$x^{\frac{4}{7}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{x \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 \cdot x}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{3}{7}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{3}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{3}{7}}$ 。

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解题步骤 10.2.4.1

移动 $x^{- \frac{3}{7}}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x)}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4.2

将 $x^{- \frac{3}{7}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x^{1})}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + 1}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + \frac{7}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{- 3 + 7}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.4.5

将 $- 3$ 和 $7$ 相加。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{2 \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.7

要将 $x^{\frac{4}{7}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{4}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.8

组合 $x^{\frac{4}{7}}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7 + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.10

将 $7$ 移到 $x^{\frac{4}{7}}$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{7}} + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 10.2.11

将 $7 x^{\frac{4}{7}}$ 和 $4 x^{\frac{4}{7}}$ 相加。

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

微积分学 示例

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