微积分学示例

$y = x^{\ln (4 x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\ln (4 x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\ln (4 x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\ln (4 x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (4 x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (4 x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (4 x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

解题步骤 5

组合 $\ln (4 x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

解题步骤 6.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

解题步骤 6.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{4 x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 7.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.3

化简项。

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解题步骤 7.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{\ln (x)}{4 x}$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

约去公因数。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3.2.2

重写表达式。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\ln (x)}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\ln (4 x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 8.2.2

组合 $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\ln (x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$

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