微积分学示例

$y = \frac{x + 5}{x^{3} + x - 4}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x^{3} + x - 4$ 。

$\frac{(x^{3} + x - 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(x^{3} + x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{3} + x - 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{3} + x - 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{3} + x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + 0)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $3 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 1 \cdot 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 5) (3 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2} + 1) - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.5

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

合并 $x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} + 0 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $x^{3} - 4 - 3 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $x^{3}$ 中减去 $3 x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 4 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{3}) - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从 $- 15 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{3}) - (15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.5

从 $- (2 x^{3}) - (15 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ 重写为 $- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ 。

$\frac{- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

微积分学 示例

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