微积分学示例

$y = e^{\sin (x^{2})}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\sin (x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$e^{\sin (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$e^{\sin (x^{2})} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\sin (x^{2})} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2}) (2 x)$ 的因式。

$2 e^{\sin (x^{2})} x \cos (x^{2})$

解题步骤 4.2

将 $2 e^{\sin (x^{2})} x \cos (x^{2})$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2})$

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